نموذج تداول الخيارات ذات الحدين

نموذج التسعير الخيار ذو الحدين.

ما هو "نموذج التسعير الخيار ذو الحدين"

نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين هو طريقة تقييم الخيارات التي تم تطويرها في عام 1979. يستخدم نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين إجراء تكراري يسمح بتحديد العقد أو النقاط الزمنية خلال الفترة الزمنية بين تاريخ التقييم وتاريخ انتهاء الصلاحية. ويقلل النموذج من احتمالات تغير الأسعار، ويزيل إمكانية المراجحة. مثال مبسط لشجرة ذات حدين قد يبدو شيئا من هذا القبيل:

بانكينغ دون "الخيار الثنائي نموذج التسعير"

مثال التسعير ذو الحدين.

مثال مبسط للشجرة ذات الحدين له خطوة واحدة فقط. نفترض أن هناك الأسهم التي بسعر 100 $ للسهم الواحد. في شهر واحد، وسعر هذا السهم سوف ترتفع بمقدار 10 $ أو تنخفض بمقدار 10 $، وخلق هذا الوضع:

سعر السهم = 100 دولار.

سعر السهم (فوق الدولة) = 110 دولار.

سعر السهم (أسفل الحالة) = 90 دولار.

بعد ذلك، افترض أن هناك خيار اتصال متاح على هذا المخزون الذي ينتهي في شهر واحد ولها سعر الإضراب 100 $. في حالة ما يصل، وهذا الخيار دعوة يستحق 10 $، وفي حالة أسفل، فإنه يستحق $ 0. يمكن للنموذج ذي الحدين حساب ما يجب أن يكون عليه سعر خيار الاتصال اليوم. ولأغراض التبسيط، افترض أن مستثمرا يشتري نصف حصة من الأسهم ويكتب، أو يبيع، خيار مكالمة واحدة. الاستثمار الكلي اليوم هو سعر نصف حصة أقل من سعر الخيار، والمكافآت المحتملة في نهاية الشهر هي:

التكلفة اليوم = $ 50 - سعر الخيار.

قيمة الحافظة (أوب أوب) = $ 55 - ماكس ($ 110 - $ 100، 0) = $ 45.

قيمة المحفظة (حالة الهبوط) = 45 دولار - كحد أقصى (90 - 100 دولار أمريكي، 0) = 45 دولارا أمريكيا (أو ما يعادلها بالعملة المحلية).

ومكافأة المحفظة متساوية مهما تحرك سعر السهم. وبالنظر إلى هذه النتيجة، على افتراض عدم وجود فرص للمراجحة، يجب على المستثمر كسب معدل الخالية من المخاطر على مدار الشهر. ويجب أن تكون التكلفة اليوم مساوية للمكافأة المخصومة بمعدل خالي من المخاطر لمدة شهر واحد. ومعادلة الحل هي بالتالي:

سعر الخيار = $ 50 - $ 45 x e ^ (-risk-فري ريت x T)، حيث e هو ثابت رياضي 2.7183.

على افتراض أن معدل الخالية من المخاطر هو 3٪ سنويا، و T يساوي 0.0833 (واحد مقسوما على 12)، ثم سعر خيار الاتصال اليوم هو 5،11 $.

نظرا لهيكل بسيط وتكراري، نموذج التسعير خيار ذو الحدين يقدم مزايا فريدة من نوعها. على سبيل المثال، نظرا لأنه يوفر مجموعة من التقييمات لمشتقات لكل عقدة في فترة زمنية، فإنه من المفيد تقييم المشتقات مثل الخيارات الأمريكية. بل هو أيضا أبسط بكثير من نماذج التسعير الأخرى مثل نموذج بلاك سكولز.

النموذج ذو الحدين.

نموذج ثنائي الحدين هو بديل لنماذج التسعير الخيارات الأخرى مثل نموذج بلاك سكولز. اسم ينبع من حقيقة أنه يحسب اثنين من القيم المحتملة لخيار في أي وقت من الأوقات.

ويعتبر على نطاق واسع نموذج تسعير أكثر دقة للخيارات النمط الأمريكي التي يمكن ممارستها في أي وقت. نحن نقدم أدناه المزيد من التفاصيل عن تاريخها، وكيف يعمل، وكيف يتم استخدامه.

تاريخ التسعير الحدين نموذج كيف يعمل نموذج التسعير الحدين باستخدام نموذج التسعير ذات الحدين.

تاريخ نموذج التسعير الحدين.

يرتبط نموذج التسعير ذو الحدين ارتباطا وثيقا بنموذج بلاك سكولز وينشأ تطوره من الصيغة الرياضية. تم اختراعه في عام 1979 من قبل جون كوكس (وهو أستاذ مالي يحظى باحترام كبير)، ومارك روبنشتاين (خبير اقتصادي مالي)، وستيفن روس (وهو أيضا أستاذ مالي) كان يستخدم أصلا كجهاز لتوضيح وشرح لطلاب كوكس كيف يعمل نموذج سكولز الأسود.

ومع ذلك، على عكس نموذج بلاك سكولز، فإنه لا يفترض أن يتم ممارسة خيار فقط عند نقطة انتهاء الصلاحية. وبسبب هذا، أصبح واضحا أنه أكثر دقة عندما يتعلق الأمر بحساب القيم من خيارات النمط الأمريكي، في حين أن طريقة بلاك سكولز يعمل فقط حقا لخيارات النمط الأوروبي. وأصبح النموذج ذو الحدين نموذج تسعير يستخدم على نطاق واسع في حد ذاته.

كيف يعمل نموذج التسعير الحدين.

نموذج التسعير ذو الحدين أكثر تعقيدا من نموذج بلاك سكولز والحسابات تستغرق وقتا أطول، ولكنها تعتبر أكثر دقة بشكل عام. نموذج بلاك سكولز ينص أساسا أن الخيار له قيمة واحدة صحيحة في وقت التقييم ويستخدم لحساب تلك القيمة النظرية. ومع ذلك، فإن النموذج ذو الحدين يحسب كيف تتغير القيمة النظرية للخيار مع مرور الوقت وينتقل سعر الأمن الأساسي لأعلى أو لأسفل. هناك ثلاث خطوات المعنية.

الخطوة الأولى هي إنشاء ما يعرف باسم شجرة الأسعار، التي تحتوي على عدد من نقاط زمنية محددة بدءا من نقطة التقييم والانتقال نحو نقطة انتهاء الصلاحية. يشار إلى كل من هذه النقاط كعقدة، والخطوة الثانية هي حساب التقييمات النظرية للخيار لعدد من العقد النهائية المختلفة.

وتمثل كل عقد من العقد النهائية ما سيكون عليه تقييم الخيار عند نقطة انتهاء الصلاحية نظرا للأسعار المختلفة للأمن الأساسي. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لديك أربعة العقد النهائية التي تحسب قيم الخيار إذا ارتفع سعر الأمن الأساسي بنسبة 5٪، بنسبة 10٪، بنسبة 5٪، أو انخفضت بنسبة 10٪.

الخطوة الأخيرة من العملية هي حساب القيم النظرية في كل عقدة سابقة: العمل مرة أخرى من كل من العقد النهائية نحو نقطة التقييم. وبمجرد الانتهاء من العملية، فإن شجرة السعر (أو شجرة ذات الحدين) تظهر ما هي القيمة النظرية للخيار سيكون في نقاط مختلفة في الوقت المناسب، وهذا يتوقف على كيفية تغير سعر الأمن الأساسي.

الحسابات المعنية هي أكثر تعقيدا من نموذج بلاك سكولز وأنه من غير العملي لمتاجر الخيارات لتنفيذها؛ فمن الأفضل استخدام آلة حاسبة نموذج ذات الحدين. هناك عدد من هذه المتاحة على شبكة الإنترنت، وبعضها مجانا وبعضها مكلفة للغاية. بعض السماسرة على الانترنت سوف توفر أداة مناسبة للعملاء النشطين دون أي تكلفة على الرغم من.

استخدام نموذج التسعير ذو الحدين.

ليس مهما بأي حال من الأحوال للتاجر أن يفهم نموذج التسعير الثنائي ويستخدمه لقرارات التداول. ولها استخداماتها، ويمكن أن تكون مفيدة للتنبؤ القيم النظرية للخيارات على أساس كيفية يتحرك الأمن الأساسي في السعر ومقدار الوقت الذي يمر. ومع ذلك، فإنه ليس شيئا من الضروري للغاية وأنه من الممكن تماما أن يكون تاجر الخيارات الناجحة دون استخدامه.

بالنسبة لأولئك التجار الذين يفضلون استخدام نموذج التسعير، وأكبر ميزة لنموذج ثنائي الحدين هو أنه أكثر دقة بكثير في حساب القيم النظرية لخيارات النمط الأمريكي وأخذ التمرين المبكر في الاعتبار. كما أنها أكثر مرونة لحساب كيفية تغير القيم النظرية استنادا إلى متغيرات مختلفة.

الجانب السلبي هو أنه، لأنه ينطوي على حسابات أكثر تعقيدا، انها أبطأ وليس مثالية لحساب القيم النظرية لعدد كبير من الخيارات لأغراض المقارنة.

ومن المؤكد أنه يساعد على أن يكون على الأقل الفهم الأساسي لنماذج التسعير الخيارات، لأنه قد يكون هناك نقطة عندما تريد استخدامها. انها ليست حقا الموضوع الذي تحتاج إلى قلق نفسك مع الكثير من ذلك على الرغم، على الأقل حتى لا يكون لديك خبرة معقولة مع خيارات التداول وتبحث عن طرق لضبط تكتيكات التداول الخاصة بك.

نموذج بلاك سكولز.

نموذج التسعير بلاك سكولز هو المسؤول جزئيا عن سوق الخيارات وتداول الخيارات أصبحت شعبية جدا. وقبل وضعه لم يكن هناك طريقة موحدة لخيارات التسعير، وكان من المستحيل أساسا وضع قيمة عادلة عليها. وهذا يعني أن المستثمرين والتجار لا ينظرون عادة إلى الخيارات على أنها أدوات مالية مناسبة، لأنه من الصعب جدا تحديد ما إذا كانت هناك قيمة جيدة مقابل المال المتاح.

تغير نموذج بلاك سكولز هذا. انها صيغة رياضية تم تصميمها لحساب القيمة العادلة للخيار بناء على متغيرات معينة. في هذه الصفحة نقدم المزيد من المعلومات حول هذا النموذج والدور الذي يجب أن تلعبه في تداول الخيارات. يتم تغطية المواضيع التالية:

التاريخ الغرض المدخلات & أمب؛ الافتراضات باستخدام نموذج التسعير الأسود سكولز.

يدعى نموذج التسعير بلاك سكولز الاقتصاديين الأمريكيين فيشر بلاك ومايرون سكولز. وفي عام 1970 كتب بلاك، وهو عالم فيزيائي رياضي، وشولز، أستاذ التمويل في جامعة ستانفورد، ورقة بعنوان "التسعير للخيارات والخصوم المؤسسية". حاولوا نشر الورقة، ولكن رفضه العديد من الناشرين، حتى جامعة شيكاغو Ђ ™ مجلة الاقتصاد السياسي وافقت على نشره في عام 1973.

في هذه الورقة، يعني بلاك وشولز أن الخيار له سعر صحيح واحد، والذي يمكن تحديده باستخدام المعادلة التي تضمنتها الورقة. هذه المعادلة أصبحت تعرف باسم معادلة بلاك سكولز أو صيغة بلاك سكولز. أيضا في عام 1973، ورقة لاحقة، “thory من راتيونال الخيار التسعير "، كتبها روبرت ميرتون، وانه توسع على هذا النهج الرياضي وعرض مصطلح بلاك سكولز نموذج تسعير الخيارات.

في ذلك الوقت، كان تداول الخيارات جديد جدا واعتبر شكلا متقلبا ومتقلبا جدا من التداول. على الرغم من أنه في البداية استقبله قدر كبير من التشكك، أظهر بلاك وشولز وميرتون أن الرياضيات يمكن تطبيقها باستخدام المعادلات التفاضلية لتحديد القيمة العادلة للمكالمات والأسلوب الأوروبي.

وأصبح نموذج بلاك سكولز مقبولا على نطاق واسع وساهم في جعل تداول الخيارات أكثر شعبية بكثير مما كان يمكن أن يكون. وغالبا ما يشار إلى النموذج أيضا باسم نموذج بلاك سكولز-ميرتون ويعتبر واحدا من أهم المفاهيم في النظرية المالية الحديثة. حصل روبرت ميرتون ومايرون سكولز على جائزة نوبل في الاقتصاد عام 1997: بعد عامين من وفاة فيشر بلاك.

وكما ذكرنا أعلاه، كان من الصعب جدا بالنسبة للمستثمر، قبل النموذج، أن يحدد ما إذا كان الخيار قد تم تسعيره بشكل صحيح، وبالتالي إذا كان يمثل قيمة جيدة أم لا. ويكمن جزء كبير من الاستثمار الناجح والتداول في إيجاد فرص يكون فيها الأصل ناقصا أو مبالغا فيه ثم يتداول وفقا لذلك. لأن هذا لم يكن ممكنا حقا مع الخيارات، والسوق لم يكن يفضل بشكل خاص من قبل المستثمرين والتجار واعتبر أنها خطيرة جدا.

وقد وضعت صيغة بلاك سكولز لحساب القيمة الاقتصادية للخيارات التي تكون عادلة لكل من المشتري والبائع. من الناحية النظرية، إذا تم شراء الخيارات وبيعها مرارا وتكرارا بالسعر المحدد من قبل هذا النموذج، ثم المشترين والبائعين في كل من التعادل في المتوسط: لا تشمل أي عمولات اتهم.

الفكرة الكامنة وراء الصيغة هي أنه من الممكن خلق حالة تحوط مثالية من خلال الجمع بين عقود الخيارات والأمن الأساسي، على افتراض أن العقود يتم تسعيرها بشكل صحيح. في الأساس، اقترحت النظرية أنه لا يوجد سوى سعر واحد صحيح حقا للخيار، وهذا السعر يمكن حسابها رياضيا.

ومن الناحية العملية، يتأثر السعر بعوامل كثيرة، بما في ذلك الطلب والعرض، وبسبب هذا، قد لا يتم دائما تسعير الخيارات بشكل صحيح. باستخدام نموذج تسعير بلاك سكولز، من الممكن، نظريا، تحديد ما إذا كان سعر تداول الخيار أعلى أو أقل من القيمة الحقيقية: والتي يمكن بدورها تسليط الضوء على الفرص التجارية المحتملة.

المدخلات & أمب؛ الافتراضات.

ويستند نموذج التسعير بلاك سكولز على صيغة رياضية وتستخدم هذه الصيغة عددا من المتغيرات أو المدخلات لحساب القيمة العادلة للخيار. وتعرف هذه المتغيرات بمدخلات النموذج وهي كما يلي:

السعر الحالي للأمن الأساسي سعر الإضراب المدة الزمنية حتى انتهاء الصلاحية معدل الفائدة الخالي من المخاطر خلال فترة العقد التقلب الضمني للأمن الأساسي.

ويعتمد النموذج أيضا على عدة افتراضات أساسية للعمل. وهذه الافتراضات هي كما يلي:

ولا يمكن ممارسة هذا الخيار إلا بعد انتهاء صلاحيته (أي أنه نمط أوروبي) فإن الأمن الأساسي سيزداد أحيانا في السعر وينخفض ​​أحيانا، وأن اتجاه الحركة لا يمكن التنبؤ به. لا یدعم الضمان الأساسي توزیعات الأرباح لا یزال تقلب الضمان الأساسي ثابتا خلال فترة العقد لا تزال أسعار الفائدة ثابتة خلال فترة العقد لا توجد عمولات محملة علی شراء أو بیع الخیار لا توجد فرصة للمراجحة ( أي أنه لا ينبغي للمشتري ولا للبائع الحصول على منفعة فورية)

وينبغي أن يكون من الواضح بشكل معقول أن بعض هذه الافتراضات ليست دائما صالحة، ومن المهم جدا أن ندرك ذلك لأنه يعني أن هناك احتمال واضح أن القيم النظرية المحسوبة باستخدام نموذج بلاك سكولز قد لا تكون دقيقة .

استخدام نموذج التسعير الأسود سكولز.

لا شك في أن تطوير نموذج التسعير بلاك سكولز ساعد على جعل الخيارات التجارية أكثر قابلية للبقاء في نظر المستثمرين، لأنه ساعد على تغيير فكرة أن تقييم الخيارات كان أكثر قليلا من مجرد لعبة التخمين. ومع ذلك، هناك بضع نقاط رئيسية يجب أن تكون على بينة من.

أولا، ليس من الضروري تماما أن نفهم تماما الصيغة الرياضية وراء نموذج التسعير لتكون ناجحة في تداول الخيارات وأنه ليس من الضروري حتى أن كنت تستخدم على الإطلاق. إذا كنت ترغب في استخدامه على الرغم من أنك سوف تجد على الأرجح أسهل لاستخدام واحدة من العديد من نموذج سكولز بلاك حساب الأدوات على شبكة الإنترنت بدلا من تنفيذ الحسابات نفسك. سوف تجد أن عددا من السماسرة على الانترنت تشمل مثل أداة حساب لعملائها للاستخدام.

وثانيا، تجدر الإشارة إلى أنه لا ينبغي أبدا اعتباره مؤشرا دقيقا للقيمة الحقيقية للخيار، لأن هناك بعض المشاكل مع الافتراضات التي يقوم عليها النموذج. على سبيل المثال، يفترض أن أسعار الفائدة وتقلبات الأمن الأساسي ستبقى ثابتة خلال فترة العقد، وهذا ليس من المرجح أن يكون هو الحال.

كما أنه لا يأخذ في الاعتبار حقيقة أن بعض الأسهم تدفع أرباح، ولا القيمة الإضافية التي خيارات النمط الأمريكي لأن حاملها قادر على ممارسة لهم في أي لحظة. ومع ذلك، هناك متغيرات من نموذج بلاك سكولز التي يمكن تطبيقها لعوامل مثل هذه القضايا.

إذا كنت تخطط لاستخدام النموذج كجزء من استراتيجية التداول الخاصة بك، فإننا نقترح بقوة أنك لا تعتمد عليه لإعادة القيم الدقيقة، ولكن القيم النظرية بدلا من ذلك. ويمكن بعد ذلك استخدام هذه القيم النظرية لأغراض المقارنة بين الخيارات لمساعدتك في تحديد ما الصفقات يجب أن تكون صنع. يمكنك أيضا استخدام النموذج للمساعدة في تقرير ما إذا كانت التجارة المحتملة التي حددتها من خلال أساليب أخرى من المرجح أن تكون ناجحة التجارة أم لا.

وباختصار، فإن نموذج تسعير بلاك سكولز لعب دورا بارزا في كيفية تطوير سوق الخيارات والخيارات التجارية، ومن المؤكد أنه لا يزال لديه استخداماته للتجار. ومع ذلك، يجب أن تكون على دراية كاملة بقيودها، وأن تكون أبدا معتمدة تماما عليها.

أمثلة لفهم نموذج التسعير الخيار ذو الحدين.

من الصعب جدا الاتفاق على التسعير الدقيق لأي من الأصول القابلة للتداول، حتى في الوقت الحاضر. هذا هو السبب في استمرار أسعار الأسهم المتغيرة باستمرار. في الواقع لا تكاد الشركة تغير تقييمها على أساس يومي، ولكن سعر السهم وتغير تقييمه في كل ثانية. وهذا يدل على صعوبة التوصل إلى توافق في الآراء حول سعر اليوم الحالي لأي من الأصول القابلة للتداول، مما يؤدي إلى فرص المراجحة. ومع ذلك، هذه الفرص المراجحة هي حقا قصيرة الأجل.

كل ذلك يتلخص في تقديم تقييم اليوم - ما هو السعر الحالي الصحيح اليوم لتحقيق عائد مستقبلي متوقع؟

في سوق تنافسية، لتجنب فرص المراجحة، الأصول ذات هياكل المكافأة مماثلة يجب أن يكون لها نفس السعر. وقد كان تقييم الخيارات مهمة صعبة، وقد لوحظت اختلافات كبيرة في التسعير مما أدى إلى فرص المراجحة. بلاك سكولز لا تزال واحدة من النماذج الأكثر شعبية المستخدمة في خيارات التسعير، ولكن لديها قيود خاصة بها. (لمزيد من المعلومات، انظر: خيارات التسعير). نموذج التسعير خيار الحدين هو طريقة أخرى شعبية تستخدم لخيارات التسعير. تتناول هذه المقالة بضعة أمثلة شاملة خطوة بخطوة، وتشرح المفهوم المحايد للمخاطر الكامنة في تطبيق هذا النموذج. (للحصول على القراءة ذات الصلة، انظر: كسر أسفل نموذج ذو الحدين لقيمة خيار).

تفترض هذه المقالة ألفة المستخدم مع الخيارات والمفاهيم والمصطلحات ذات الصلة.

افترض وجود خيار اتصال على سهم معين سعر السوق الحالي هو 100 $. سعر الصرف الآلي أتم سعر الإضراب من 100 $ مع مرور الوقت لانتهاء سنة واحدة. هناك اثنين من التجار، بيتر وبول، اللذين اتفقا على أن سعر السهم إما أن يرتفع إلى 110 $ أو انخفاض إلى 90 $ في وقت واحد في السنة. ويتفق الطرفان على مستويات الأسعار المتوقعة في إطار زمني محدد مدته سنة واحدة، ولكنهما يختلفان على احتمال التحرك لأعلى (وتحرك لأسفل). ويعتقد بيتر أن احتمال سعر السهم يذهب إلى 110 $ هو 60٪، في حين يعتقد بول هو 40٪.

بناء على ما سبق، من سيكون على استعداد لدفع المزيد من السعر لخيار الدعوة؟

ربما بطرس، كما انه يتوقع احتمال كبير من التحرك صعودا.

دعونا نرى الحسابات للتحقق وفهم هذا. الأصول التي يعتمد عليها التقييم هي خيار الاتصال والمخزون الأساسي. وهناك اتفاق بين المشاركين على أن سعر السهم الأساسي يمكن أن يتحرك من 100 دولار إلى 110 دولار أو 90 دولار في سنة واحدة، ولا توجد أي حركة أخرى ممكنة.

وفي عالم خال من المراجحة، إذا كان علينا إنشاء محفظة تتألف من هذين الأصلين (خيار الاتصال والمخزون الأساسي)، وبغض النظر عن المكان الذي يذهب فيه السعر الأساسي (110 دولارات أو 90 دولارا)، فإن العائد الصافي على الحافظة يظل دائما كما هو . لنفترض أننا نشتري أسهم "د" من خيار المكالمة الأساسية وقصيرة واحدة لإنشاء هذه المحفظة.

إذا كان السعر يذهب إلى 110 $، وسوف تكون أسهمنا بقيمة 110 $ * د ونحن سوف تخسر 10 $ على مكافأة المكالمة قصيرة. وستكون القيمة الصافية لمحفظتنا) 110 - 10 (.

إذا انخفض السعر إلى 90 $، سوف أسهمنا يستحق 90 $ * د، والخيار سوف تنتهي لا قيمة له. وستكون القيمة الصافية لمحفظتنا) 90 د (.

إذا أردنا أن تظل قيمة محفظتنا هي نفسها، بغض النظر عن أينما يذهب سعر السهم الأساسي، فإن قيمة محفظتنا يجب أن تبقى كما هي في أي من الحالتين، أي:

أي إذا اشترينا نصف حصة (على افتراض أن عمليات الشراء الجزئية ممكنة)، فإننا سنعمل على إنشاء محفظة بحيث تظل قيمتها متماثلة في كل من الدول المحتملة ضمن الإطار الزمني المحدد لسنة واحدة. (النقطة 1)

هذه القيمة المحفظة، التي أشار إليها (90d) أو (110d -10) = 45، هي سنة واحدة أسفل الخط. ولحساب قيمته الحالية، يمكن خصمه من خلال معدل العائد الخالي من المخاطر (على افتراض 5٪).

= & GT. 90d * إكس (-5٪ * 1 يار) = 45 * 0.9523 = 42.85 = & غ؛ القيمة الحالية للمحفظة.

وبما أن الحافظة تتألف حاليا من ½ حصة من الأسهم الأساسية (بسعر السوق 100 دولار) ونداء قصير واحد، ينبغي أن تكون مساوية للقيمة الحالية المحسوبة أعلاه.

= & GT. 1/2 * 100 - 1 * سعر المكالمة = 42.85.

= & GT. سعر المكالمة = 7.14 دولارا (أو ما يعادلها بالعملة المحلية)، أي سعر المكالمة اعتبارا من اليوم.

وبما أن هذا يستند إلى الافتراض الوارد أعلاه أن قيمة المحفظة تبقى كما هي بغض النظر عن الطريقة التي يذهب بها السعر الأساسي (النقطة 1 أعلاه)، فإن احتمالية التحرك لأعلى أو لأسفل لا تلعب أي دور هنا. ولا تزال المحفظة خالية من المخاطر، بصرف النظر عن التحركات الأساسية للأسعار.

في كلتا الحالتين (من المفترض أن يصل التحرك إلى 110 $ والانخفاض إلى 90 $)، محفظتنا محايدة للمخاطر ويحصل على معدل العائد الخالي من المخاطر.

وبالتالي فإن كلا من التجار، بيتر وبول، سوف تكون على استعداد لدفع نفس $ 7.14 لهذا الخيار الدعوة، بغض النظر عن تصوراتهم المختلفة الخاصة لاحتمالات التحركات (60٪ و 40٪). ولا تلعب احتمالاتهم الفردية دورا مهما في تقييم الخيارات، كما يتضح من المثال أعلاه.

وإذا افترضنا أن الاحتمالات الفردية مهمة، فستكون هناك فرص للمراجحة. في العالم الحقيقي، توجد فرص المراجحة هذه مع فروق أسعار طفيفة وتختفي على المدى القصير.

ولكن أين هو التقلب الشديد في كل هذه الحسابات، وهو عامل مهم (وأكثر حساسية) يؤثر على تسعير الخيارات؟

وقد أدرجت التقلبات بالفعل في طبيعة تعريف المشكلة. تذكر أننا نفترض اثنين (واثنين فقط - وبالتالي اسم "ثنائي الحدود") مستويات مستويات الأسعار (110 $ و 90 $). التقلب هو ضمني في هذا الافتراض، وبالتالي تدرج تلقائيا - 10٪ في كلتا الحالتين (في هذا المثال).

الآن دعونا نفعل الاختيار التعقل لمعرفة ما إذا كان نهجنا هو الصحيح ومتسقة مع التسعير بلاك سكولز شائعة الاستخدام. (انظر: نموذج تقييم الخيار بلاك سكولز).

وهنا لقطات من نتائج حاسبة النتائج (مجاملة من منظمة المؤتمر الإسلامي)، الذي يطابق بشكل وثيق مع القيمة المحسوبة لدينا.

لسوء الحظ، العالم الحقيقي ليس بسيطا مثل "دولتين فقط". هناك عدة مستويات الأسعار التي يمكن تحقيقها من قبل السهم حتى الوقت لانتهاء الصلاحية.

هل من الممكن تضمين كل هذه المستويات المتعددة في نموذج التسعير الثنائي الحد الذي يقتصر على مستويين فقط؟ نعم، فمن الممكن جدا، وفهم ذلك، دعونا ندخل في بعض الرياضيات البسيطة.

يتم تخطي بعض الخطوات الحسابية المتوسطة للحفاظ على تلخيصها وتركز على النتائج.

للمضي قدما، دعونا تعميم هذه المشكلة والحل:

'X' هو سعر السوق الحالي من الأسهم و 'X * ش' و 'X * د' هي الأسعار في المستقبل لأعلى وأسفل التحركات 'ر' سنوات في وقت لاحق. عامل 'ش' سيكون أكبر من 1 كما أنه يشير إلى الخطوة و 'د' سوف تقع بين 0 و 1. للحصول على المثال أعلاه، ش = 1.1 و d = 0.9.

ومدفوعات خيار المكالمة هي 'P أوب' و 'P دن' لأعلى وأسفل التحركات، في وقت انتهاء الصلاحية.

إذا كنا نبني محفظة من 'ق' أسهم شراؤها اليوم وخيار واحد مكالمة قصيرة، ثم بعد الوقت 'ر':

قيمة المحفظة في حالة المتابعة = s * X * u - P أوب.

قيمة الحافظة في حالة الانتقال = s * X * d - P دن.

بالنسبة للتقییم المماثل في کلتا الحالتین،

= & GT. s = (P أوب - P دن) / (X * (u-d)) = لا. من الأسهم لشراء لمحفظة خالية من المخاطر.

وستكون القيمة المستقبلية للمحفظة في نهاية السنة.

يمكن الحصول على قيمة اليوم الحالي أعلاه من خلال خصم ذلك مع معدل العائد الخالي من المخاطر:

وينبغي أن يتطابق ذلك مع حيازة أسهم 's' بسعر X، وقيمة المكالمة القصيرة 'c' أي عقد اليوم (s * X - c) ينبغي أن تساوي أعلاه. حل ج يعطي أخيرا ج كما يلي:

إذا كنا نقصر قسط الدعوة ينبغي أن يكون إضافة إلى الحافظة لا سوبتراكتيون.

طريقة أخرى لكتابة المعادلة أعلاه هي إعادة ترتيبها كما يلي:

ثم فوق المعادلة يصبح.

أعاد ترتيب المعادلة من حيث "q" وجهة نظر جديدة.

يمكن أن تفسر "q" الآن على أنها احتمالية التحرك لأعلى للجزء الأساسي (كما هو "q" مرتبط بال P و "1-q" مرتبط ب P دن). وبوجه عام، تمثل المعادلة أعلاه سعر الخيار الحالي أي القيمة المخفضة لمردودها عند انتهاء صلاحيتها.

كيف يختلف هذا الاحتمال "q" عن احتمال تحرك الخطوة أو أسفلها؟

قيمة سعر السهم في الوقت t = q * X * u + (1-q) * X * d.

وباستبدال قيمة q وإعادة ترتيبها، يأتي سعر السهم في الوقت المناسب.

أي في هذا العالم المفترض من دولتين، فإن سعر المخزون يرتفع ببساطة من خلال معدل العائد الخالي من المخاطر، أي تماما مثل الأصول الخالية من المخاطر، وبالتالي فإنه لا يزال مستقلا عن أي خطر. إن جميع المستثمرين غير مبالين بالمخاطر بموجب هذا النموذج، وهذا يشكل نموذجا محايدا للمخاطر.

ويعرف الاحتمال "q" و "(1 ف)" باحتمالات محايدة للمخاطر وتعرف طريقة التقييم بنموذج تقييم محايد للمخاطر.

المثال أعلاه يحتوي على شرط واحد مهم - مطلوب هيكل العائد في المستقبل مع الدقة (مستوى 110 $ و 90 $). في واقع الحياة، مثل هذا الوضوح حول مستويات السعر القائم على خطوة غير ممكن؛ بدلا من ذلك يتحرك السعر بشكل عشوائي وقد يستقر على مستويات متعددة.

دعونا توسيع المثال كذلك. نفترض أن مستويات السعر خطوة اثنين ممكنة. نحن نعرف الخطوة الثانية من المكاسب النهائية ونحن بحاجة إلى تقييم الخيار اليوم (أي في الخطوة الأولى)

ويمكن أن يتم إجراء التقييم الوسيطة للخطوة الأولى (في t = 1) باستخدام المكاسب النهائية في الخطوة الثانية (t = 2)، ثم باستخدام هذه القيمة المحسوبة للخطوة الأولى (t = 1)، وتقويم اليوم الحالي (t = 0) يمكن الوصول إليها باستخدام الحسابات المذكورة أعلاه.

للحصول على تسعير الخيار في لا. 2، والمكافآت في 4 و 5 تستخدم. للحصول على تسعير لا. 3، والمكافآت في 5 و 6 تستخدم. وأخيرا، يتم استخدام الأرباح المحسوبة في 2 و 3 للحصول على التسعير في لا. 1.

يرجى ملاحظة أن مثالنا يفترض نفس العامل لأعلى (وأسفل) التحرك في كلا الخطوتين - u (و d) يتم تطبيقها بطريقة معقدة.

في ما يلي مثال عملي مع الحسابات:

افترض خيار الشراء مع سعر الإضراب $ 110 يتداول حاليا عند 100 دولار وينتهي في سنة واحدة. المعدل السنوي الخالي من المخاطر هو 5٪. ومن المتوقع أن يرتفع السعر بنسبة 20٪ وأن ينخفض ​​بنسبة 15٪ كل ستة أشهر.

لننشئ المشكلة:

هنا، ش = 1.2 و d = 0.85، X = 100، t = 0.5.

باستخدام الصيغة المشتقة أعلاه، نحصل على q = 0.35802832.

قيمة الخيار وضع في نقطة 2،

في P أوبوب الشرط، سيكون الأساسي = 100 * 1.2 * 1.2 = 144 $ مما يؤدي إلى P أوبوب = الصفر.

في حالة P أوبدن، سوف تكون الكامنة = 100 * 1.2 * 0.85 = 102 $ مما يؤدي إلى P أوبدن = $ 8.

في حالة P دند، سوف تكون الكامنة = 100 * 0.85 * 0.85 = 72.25 $ مما يؤدي إلى P دند = 37.75 $.

p 2 = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741.

وبالمثل، p 3 = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924.

ومن ثم قيمة الخيار وضع، p 1 = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18.29 $.

وبالمثل، تسمح النماذج ذات الحدين بتقسيم مدة الخيار بالكامل إلى مزيد من الخطوات / المستويات المتعددة. باستخدام برامج الكمبيوتر أو جداول البيانات يمكن للمرء أن يعمل إلى الوراء خطوة واحدة في وقت واحد، للحصول على القيمة الحالية من الخيار المطلوب.

دعونا نختتم بمثال واحد آخر يتضمن ثلاث خطوات لتقييم الخيارات ذات الحدين:

نفترض خيار وضع من نوع الأوروبي، وجود 9 أشهر لانتهاء مع سعر الإضراب من 12 $ والسعر الحالي الكامنة في 10 $. افترض معدل خالي من المخاطر بنسبة 5٪ لجميع الفترات. نفترض كل 3 أشهر، السعر الأساسي يمكن أن تتحرك 20٪ صعودا أو هبوطا، مما يتيح لنا ش = 1.2، د = 0.8، ر = 0.25 و 3 خطوة شجرة ثنائية الحدين.

الأرقام باللون الأحمر تشير إلى الأسعار الأساسية، في حين أن تلك باللون الأزرق تشير إلى العائد من خيار وضع.

الاحتمال المحايد للمخاطر q يحسب إلى 0.531446.

وباستخدام القيمة المذكورة أعلاه لقيم q والمردود عند t = 9 أشهر، تحسب القيم المقابلة عند t = 6 أشهر على النحو التالي:

وعلاوة على ذلك، وباستخدام هذه القيم المحسوبة عند t = 6، تكون القيم عند t = 3 ثم t = 0 هي:

مما يعطي القيمة الحالية لخيار وضع 2.18 $، وهو قريب جدا من واحد محسوبة باستخدام نموذج بلاك سكولز (2.3 $)

على الرغم من أن استخدام برامج الكمبيوتر يمكن أن تجعل الكثير من هذه الحسابات المكثفة سهلة، والتنبؤ بالأسعار في المستقبل لا يزال قيدا رئيسيا من النماذج ذات الحدين لتسعير الخيار. أدق فترات زمنية، وأكثر صعوبة يحصل على التنبؤ بدقة المكافآت في نهاية كل فترة. ومع ذلك، فإن المرونة لدمج التغييرات كما هو متوقع في فترات مختلفة من الزمن هو إضافة واحدة زائد، مما يجعلها مناسبة لتسعير الخيارات الأمريكية، بما في ذلك تقييم ممارسة في وقت مبكر. والقيم المحسوبة باستخدام النموذج ذي الحدين تتطابق بشكل وثيق مع القيم المحسوبة من نماذج أخرى شائعة الاستخدام مثل بلاك-سكولز، مما يدل على فائدة ودقة النماذج ذات الحدين لتسعير الخيارات. نماذج التسعير ذات الحدين يمكن تطويرها وفقا لتفضيل التاجر ويعمل كبديل ل بلاك سكولز.